Question

19．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f₁（x）=f（x）、f₂（x）=f（f₁（x）），…，n=1，2，3…，满足fn（x）=x的点x∈[0，1]为f的n阶周期点，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，0≤x≤\frac{1}{2}}\\{2-2x，\frac{1}{2}＜x≤1}\end{array}\right.$，则f的n阶周期点的个数是（　　）

• A． 2n
• B． 2（2n-1）
• C． 2ⁿ
• D． 2n²

Answer 1

分析 本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，2阶周期点的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶周期点的个数．

解答 解：当x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，f₁（x）=2x=x，解得x=0，
当x∈（$\frac{1}{2}$，1]时，f₁（x）=2-2x=x，解得x=$\frac{2}{3}$，
∴f的1阶周期点的个数是2；
当x∈[0，$\frac{1}{4}$]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x解得x=0，
当x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x解得x=$\frac{2}{5}$，
当x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x解得x=$\frac{2}{3}$，
当x∈（$\frac{3}{4}$，1]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x解得x=$\frac{4}{5}$，
∴f的2阶周期点的个数是2²；
当x∈[0，$\frac{1}{8}$]，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x，f₃（x）=8x=x，x=0，
当x∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x，f₃（x）=2-8x=x，x=$\frac{2}{9}$，
当x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$]，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x，f₃（x）=2-2（2-4x）=x，x=$\frac{2}{7}$，
…
依此类推
∴f的n阶周期点的个数是2ⁿ；
故选：C．

点评 本题分段函数，考查学生分析解决问题的能力，考查归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题．