Question

10．已知点A₁（a₁，1），A₂（a₂，2），…，A_n（a_n，n）（n∈N^*）在函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x的图象上，则数列{a_n}的通项公式为a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ；设O为坐标原点，点M_n（a_n，0）（n∈N^*），则△OA₁M₁，△OA₂M₂，…，△OA_nM_n中，面积的最大值是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 由对数函数可得通项公式，又可得△OA_nM_n的面积S_n的表达式，由函数的单调性可得．

解答 解：由题意可得n=log${\;}_{\frac{1}{3}}$a_n，∴a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
又可得△OA_nM_n的面积S_n=$\frac{1}{2}$×a_n×n=$\frac{1}{2}$n（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
构造函数y=$\frac{1}{2}$x（$\frac{1}{3}$）^x，可判函数单调递减，
∴当n=1时，S_n取最大值$\frac{1}{6}$
故答案为：a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ；$\frac{1}{6}$

点评 本题考查对数函数的性质，涉及函数的单调性，属基础题．