Question

2．袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为X_n．
（1）求随机变量X₂的概率分布及数学期望E（X₂）；
（2）求随机变量X_n的数学期望E（X_n）关于n的表达式．

Answer 1

分析 （1）由题意得到X₂的所有取值，然后利用古典概型概率计算公式求出概率，则可列出频率分布表，代入期望公式求期望；
（2）设P（X_n=3+k）=p_k，k=0，1，2，3，4，5．则p₀+p₁+p₂+p₃+p₄+p₅=1，E（X_n）=3p₀+4p₁+5p₂+6p₃+7p₄+8p₅．再把P（X_n+1=3）、P（X_n+1=4）、…、
P（X_n+1=8）用p₀、p₁、p₂、p₃、p₄、p₅表示，得到E（X_n+1）-8=$\frac{7}{8}$（E（X_n）-8），从而说明数列{E（X_n）-8}为等比数列，由等比数列的通项公式得答案．

解答 解：（1）由题意可知X₂=3，4，5．
当X₂=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P（X₂=3）=$\frac{C_3^1}{C_8^1}×\frac{C_3^1}{C_8^1}$=$\frac{9}{64}$；
当X₂=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P（X₂=4）=$\frac{C_3^1C_5^1}{C_8^1C_8^1}+\frac{C_5^1C_4^1}{C_8^1C_8^1}$=$\frac{35}{64}$；
当X₂=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P（X₂=5）=$\frac{C_5^1C_4^1}{C_8^1C_8^1}$=$\frac{5}{16}$．
所以随机变量X₂的概率分布如下表：

X2	3	4	5
P	$\frac{9}{64}$	$\frac{35}{64}$	$\frac{5}{16}$

数学期望E（X₂）=$3×\frac{9}{64}+4×\frac{35}{64}+5×\frac{5}{16}=\frac{267}{64}$；
（2）设P（X_n=3+k）=p_k，k=0，1，2，3，4，5．
则p₀+p₁+p₂+p₃+p₄+p₅=1，E（X_n）=3p₀+4p₁+5p₂+6p₃+7p₄+8p₅．
P（X_n+1=3）=$\frac{3}{8}{p_0}$，P（X_n+1=4）=$\frac{5}{8}$p₀+$\frac{4}{8}$p₁，P（X_n+1=5）=$\frac{4}{8}$p₁+$\frac{5}{8}$p₂，P（X_n+1=6）=$\frac{3}{8}$p₂+$\frac{6}{8}$p₃，
P（X_n+1=7）=$\frac{2}{8}$p₃+$\frac{7}{8}$p₄，P（X_n+1=8）=$\frac{1}{8}$p₄+$\frac{8}{8}$p₅，
∴E（X_n+1）=3×$\frac{3}{8}$p₀+4×（$\frac{5}{8}$p₀+$\frac{4}{8}$p₁）+5×（$\frac{4}{8}$p₁+$\frac{5}{8}$p₂）+6×（$\frac{3}{8}$p₂+$\frac{6}{8}$p₃）+7×（$\frac{2}{8}$p₃+$\frac{7}{8}$p₄）+8×（$\frac{1}{8}$p₄+$\frac{8}{8}$p₅）
=$\frac{29}{8}$p₀+$\frac{36}{8}$p₁+$\frac{43}{8}$p₂+$\frac{50}{8}$p₃+$\frac{57}{8}$p₄+$\frac{64}{8}$p₅=$\frac{7}{8}$（3p₀+4p₁+5p₂+6p₃+7p₄+8p₅）+p₀+p₁+p₂+p₃+p₄+p₅=$\frac{7}{8}$E（X_n）+1．
由此可知，E（X_n+1）-8=$\frac{7}{8}$（E（X_n）-8）．
又E（X₁）-8=$-\frac{35}{8}$，
∴E（X_n）=$8-\frac{35}{8}{（\frac{7}{8}）^{n-1}}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的期望与方差，考查了古典概型概率公式的应用，考查了等比关系的确定及等比数列通项公式的求法，寻找E（X_n+1）-8与（E（X_n）-8）的关系是解答该题的关键，属有一定难度题目．