Question

17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧$\widehat{EF}$上的动点，则$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$的最小值为5-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先以A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，可设P（cosθ，sinθ），从而可表示出$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=5-2（cosθ+2sinθ）$，根据两角和的正弦公式即可得到$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=5-2$\sqrt{5}$sin（θ+φ），从而可求出$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$的最小值．

解答 解：如图，以A为原点，边AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则：
A（0，0），C（2，2），D（0，2），设P（cosθ，sinθ）；
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=（2-cosθ，2-sinθ）$•（-cosθ，2-sinθ）
=（2-cosθ）（-cosθ）+（2-sinθ）²
=5-2（cosθ+2sinθ）=$5-2\sqrt{5}$sin（θ+φ），tanφ=$\frac{1}{2}$；
∴sin（θ+φ）=1时，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$取最小值$5-2\sqrt{5}$．
故答案为：5-2$\sqrt{5}$．

点评 考查建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，由点的坐标求向量坐标，以及数量积的坐标运算，两角和的正弦公式．