Question

7．如图，△ABC的顶点都在圆O上，点P在BC的延长线上，且PA与圆O切于点A．
（1）若∠ACB=70°，求∠BAP的度数；
（2）若$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{5}$，求$\frac{PC}{PB}$的值．

Answer 1

分析 （1）若∠ACB=70°，证明∠ACB+∠BAP=∠ACB+∠ACP=180°，即可求∠BAP的度数；
（2）证明△PAC∽△PBA，利用切割线定理，结合$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{5}$，求$\frac{PC}{PB}$的值．

解答 解：（1）∵PA与圆O切于点A，
∴∠CAP=∠ABC，
∵∠ACP=∠ABC+∠BAC，
∴∠ACP=∠PAC+∠BAC=∠BAP，
∴∠ACB+∠BAP=∠ACB+∠ACP=180°，
∵∠ACB=70°，
∴∠BAP=110°；
（2）由（1）得∠CAP=∠ABC，
∵∠APC=∠APC，
∴△PAC∽△PBA，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{AC}{AB}$，
∴PA=$\frac{AB•PC}{AC}$，
∴PA²=$\frac{A{B}^{2}•P{C}^{2}}{A{C}^{2}}$，
由切割线定理可得PA²=PB•PC，
∴PB•PC=$\frac{A{B}^{2}•P{C}^{2}}{A{C}^{2}}$，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{A{C}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{4}{25}$．

点评 本题考查切割线定理，考查三角形相似的判断与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．