Question

15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t为参数），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅰ）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C₁上的点P对应的参数为t=$\frac{π}{2}$，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t为参数），利用sin²t+cos²t=1即可化为普通方程；C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1化为普通方程．
（Ⅱ）当t=$\frac{π}{2}$时，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M$（-2+cosθ，2+\frac{3}{2}sinθ）$，直线C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7化为x-2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t为参数），化为（x+4）²+（y-3）²=1，
∴C₁为圆心是（-4，3），半径是1的圆．
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
C₂为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
（Ⅱ）当t=$\frac{π}{2}$时，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M$（-2+4cosθ，2+\frac{3}{2}sinθ）$，
直线C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7化为x-2y=7，
M到C₃的距离d=$\frac{\sqrt{5}}{5}|4cosθ-3sinθ-13|$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|5sin（θ+φ）-13|，
从而当cosθsinθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$时，d取得最小值$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．