Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与抛物线y²=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|=$\frac{5}{2}$，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{1}{2}$x
• B． y=±2x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

Answer 1

分析 根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b²=c²-a²，解得a，b，得到渐近线方程．

解答 解：∵抛物线y²=4x的焦点坐标F（1，0），p=2，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，即c=1，
∵设P（m，n），由抛物线定义知：
|PF|=m+$\frac{p}{2}$=m+1=$\frac{5}{2}$，∴m=$\frac{3}{2}$．
∴P点的坐标为（$\frac{3}{2}$，±$\sqrt{6}$）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=1}\\{\frac{9}{4{a}^{2}}-\frac{6}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
则渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，
故选：C．

点评 本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．