Question

16．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．

（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；
（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；
（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为$\frac{h}{BD}$，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过V_P-BCD=V_B-PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S_△BCD，S_△PCD，从而求出h，从而求得答案．

解答 解：（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；
∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；
∴AE∥DF，且AE?平面PCD，DF?平面PCD；
∴AE∥平面PCD；
（2）
∵∠PAB=60°，PA=AB；
∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；
则PO⊥AB；
又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；
∴PO⊥平面ABCD；
根据已知条件可求得PO=$\sqrt{3}$，S_△BCD=4，PD=CD=$2\sqrt{2}$，PC=2$\sqrt{5}$，${S}_{△PCD}=\sqrt{15}$；
设点B到平面PCD的距离为h；
∴${V_{P-BCD}}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，${V}_{B-PCD}=\frac{\sqrt{15}}{3}h$；
∵V_P-BCD=V_B-PCD；
∴$h=\frac{4}{\sqrt{5}}$；
∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值$sinθ=\frac{h}{BD}=\frac{{\frac{4}{{\sqrt{5}}}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．