Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）
（1）若曲线f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求函数f（x）的单调区间
（2）若函数f（x）既有极大值又有极小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先确定函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx的定义域，
（1）求导f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$，从而可得f′（1）=f′（3），从而求得a=$\frac{2}{3}$；从而得到f′（x）=$\frac{2}{3}$x-$\frac{7}{3}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-2）（2x-3）}{3x}$；从而确定函数的单调性；
（2）化简f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≠\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx的定义域为（0，+∞），
（1）f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$，
∵曲线f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，
∴f′（1）=f′（3），
即a-（2a+1）+2=3a-（2a+1）+$\frac{2}{3}$，
解得，a=$\frac{2}{3}$；
故f′（x）=$\frac{2}{3}$x-$\frac{7}{3}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-2）（2x-3）}{3x}$；
故f（x）在（0，$\frac{3}{2}$）上是增函数，在（$\frac{3}{2}$，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．
（2）∵f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$
=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$
=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$，
∵函数f（x）既有极大值又有极小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≠\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及导数几何意义的应用，属于中档题．