Question

6．已知$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=1（m＞0，n＞0），当mn取最小值时，双曲线$\frac{x^2}{m^2}$-$\frac{y^2}{mn}$=1的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 运用基本不等式可得mn≥8，当且仅当n=2m=4，mn取得最小值8．求出双曲线方程的a，b，c，由离心率公式计算即可得到．

解答 解：由m＞0，n＞0，$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=1得：1=$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$≥2$\sqrt{\frac{2}{mn}}$，
可得mn≥8，
当且仅当n=2m=4，mn取得最小值8．
即有双曲线$\frac{x^2}{m^2}$-$\frac{y^2}{mn}$=1为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，
即有a=2，b=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{4+8}$=2$\sqrt{3}$．
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查基本不等式的运用，属于中档题和易错题．