Question

12．己知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据异面直线所成角的定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥DF，又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直线，即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可．

解答 解：由于正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，故不妨设棱长为a．
取SC的中点F，连接EF，则EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
取AD的中点H连接HF则可得EF∥HA，EF=HA，
故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥HF．
再取DC中点G，连接HG，则FG∥SD，
所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角．
∵HF=AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，FG=$\frac{1}{2}$a，HG=$\sqrt{D{H}^{2}+D{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A，
∴cos∠HFG$\frac{H{F}^{2}+F{G}^{2}-H{G}^{2}}{2HF•FG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＞0．
即AE、SD所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选C．

点评 本题主要考查了异面直线所成的角．解题的关键是要紧紧抓住利用平行的传递性（通常利用平行四边形的性质或中位线定理）将异面直线转化为相交直线然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正负判断是这个角还是这个角的补角）．