Question

20．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆上的两点，已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{x}_{1}}{b}$，$\frac{{y}_{1}}{a}$），向量$\overrightarrow{b}$=（$\frac{{x}_{2}}{b}$，$\frac{{y}_{2}}{a}$），若$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，且椭圆的离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（3）△AOB的面积是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先，根据离心率和短轴长确定其方程即可；
（2）首先，可以设直线AB的方程为y-$\sqrt{3}$=kx，然后，结合向量关系求解即可；
（3）若直线AB的斜率不存在时，则x₁=x₂，y₁=-y₂，得到矛盾，直线AB的斜率存在，设其方程为：y=kx+p，然后，联立方程组，利用根与系数的关系求解即可．

解答 解：（1）∵椭圆的离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵短轴长为2，
∴b=1，
∴a²-c²=1，
∴a=2，b=1，
∴椭圆的方程$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
（2）根据（1）知F（0，$\sqrt{3}$），
设直线AB的方程为y-$\sqrt{3}$=kx，
∴y=kx+$\sqrt{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$．
（4+k²）x²+2$\sqrt{3}$kx-1=0，
∴x₁x₂=$\frac{-1}{4+{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{-2\sqrt{3}k}{4+{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+$\sqrt{3}$）（kx₂+$\sqrt{3}$）=k²x₁x₂+$\sqrt{3}$k（x₁+x₂）+3
=$\frac{12-4{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{x}_{1}}{b}$，$\frac{{y}_{1}}{a}$），向量$\overrightarrow{b}$=（$\frac{{x}_{2}}{b}$，$\frac{{y}_{2}}{a}$），若$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∵a=2，b=1，
∴x₁x₂+$\frac{1}{4}$y₁y₂=0
∴$\frac{-1}{4+{k}^{2}}$+$\frac{1}{4}•$$\frac{12-4{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$=0，
∴k=±$\sqrt{2}$；
（3）若直线AB的斜率不存在时，则x₁=x₂，y₁=-y₂，
根据$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，
∴x₁²-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=0，这与点A在椭圆上矛盾，
故直线AB的斜率存在，
设其方程为：y=kx+p，
代入椭圆方程，得
（4+k²）x²+2kpx+p²-4=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2kp}{4+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{p}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，
根据$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，
x₁x₂+$\frac{1}{4}$y₁y₂=0，
∵y₁=kx₁+p，y₂=kx₂+p，
∴2p²=k²+4，
∵O到直线AB的距离为$\frac{|p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$$\frac{|p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$|AB|，
=$\frac{1}{2}$|p|•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{|p|\sqrt{4{k}^{2}+16-4{p}^{2}}}{{k}^{2}+4}=\frac{|p|\sqrt{8{p}^{2}-4{p}^{2}}}{2{p}^{2}}=1$（定值），
∴△AOB的面积为定值．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程、平面向量数量积运算等知识，综合性强，运算量大，能力要求较高．