Question

3．已知数列{a_n}=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，有a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若集合M={n|a_nb_n≥λ，n∈N^*}中有且只有4个元素，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的通项公式可得数列是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，把已知递推式变形可得数列{b_n}的通项公式；
（2）求出数列{a_nb_n}的通项，结合其函数特性即可求得满足集合M={n|a_nb_n≥λ，n∈N^*}中有且只有4个元素的实数λ的取值范围．

解答 解：（1）由${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$，可知数列{a_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
则${a}_{1}{b}_{n}+\frac{1}{2}（{a}_{1}{b}_{n-1}+{a}_{2}{b}_{n-2}+…+{a}_{n-1}{b}_{1}）=n-1+\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴${a}_{1}{b}_{n}+\frac{1}{2}（n-2+\frac{1}{{2}^{n-1}}）=n-1+\frac{1}{{2}^{n}}$，解得：b_n=n；
（2）由${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}，{b}_{n}=n$，
得${a}_{n}{b}_{n}=n•（\frac{1}{2}）^{n}$，
令f（n）=$\frac{n}{{2}^{n}}$，当n=1时，f（1）=$\frac{1}{2}$；当n=2时，f（2）=$\frac{2}{{2}^{2}}=\frac{1}{2}$；
当n=3时，f（3）=$\frac{3}{{2}^{3}}=\frac{3}{8}$；当n=4时，f（4）=$\frac{1}{4}$；当n=5时，f（5）=$\frac{5}{{2}^{5}}=\frac{5}{32}$．
又${f}^{′}（n）=\frac{{2}^{n}-n•{2}^{n}}{{2}^{2n}}＜0$在n≥2时成立，函数f（n）为减函数．
∴满足集合M={n|a_nb_n≥λ，n∈N^*}中有且只有4个元素的实数λ的取值范围是$\frac{5}{32}＜λ≤\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，是中档题．