Question

20．已知f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为π，把f（x）图象的横坐标都伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再沿x轴向右平移$\frac{π}{4}$个单位得到g（x）的图象，若tanα=2，则g（2α+$\frac{π}{2}$）的大小为（　　）

• A． -$\frac{5}{12}$
• B． -$\frac{4}{5}$
• C． $\frac{5}{12}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性求得ω=2，可得f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，从而利用诱导公式、二倍角公式求得g（2α+$\frac{π}{2}$）的值．

解答 解：由f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为π，
可得$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
把f（x）图象的横坐标都伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的图象；
再沿x轴向右平移$\frac{π}{4}$个单位得到g（x）=sin（x-$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx的图象，
若tanα=2，则g（2α+$\frac{π}{2}$）=-cos（2α+$\frac{π}{2}$）=sin2α=$\frac{2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{1{+tan}^{2}α}$=$\frac{4}{1+4}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．