Question

5．在2014年教师节来临之际，某学校计划为教师颁发一定的奖励，该学校计划采用说课评价与讲课评价相结合的方式来决定教师获得奖励的等级．已知说课评价和讲课评价的成绩都分为1分，2分，3分，4分，5分，共5个等级．所有教师说课评价与讲课评价成绩的频率分布情况如图所示（参加评价的每个教师两种评价都参加了），其中讲课评价成绩为5分的有12人．

（1）求该学校参加评价活动的教师总人数；
（2）若在说课评价为2分的教师中，讲课评价也为2分的有4人，其余讲课评价均为3分．若从说课评价为2分的教师中选取2人进行座谈，求这2人说课评价与讲课评价总分的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图求得讲课评价中成绩为5分的概率，再结合讲课评价成绩为5分的有12人求得该学校参加评价活动的教师总数；
（2）结合频率分布直方图求出说课评价为2分的教师的频率，进一步求得说课评价为2分的教师数，得到16人中总分为4分的有4人，总分为5分的有12人，则从这16人中任选2人，得分总和X可求，再利用古典概型概率计算公式求得概率，列出频率分布表，代入期望公式求期望．

解答 解：（1）讲课评价中成绩为5分的概率为1-0.025-0.150-0.375-0.375=0.075，
故该学校参加评价活动的教师总数为$\frac{12}{0.075}=160$；
（2）由条件可知，说课评价为2分的教师的频率为1-0.200-0.375-0.250-0.075=0.1，
故说课评价为2分的教师数为160×0.1=16人．
由条件可知，这16人中总分为4分的有4人，总分为5分的有12人．
设从这16人中任选2人，得分总和为X，则X的可能值为8分，9分，10分．
则$P（X=8）=\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{16}^{2}}=\frac{1}{20}，P（X=9）$=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{16}^{2}}=\frac{2}{5}$，$P（X=10）=\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{16}^{2}}=\frac{11}{20}$．
则X的分布列为：

X	8	9	10
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{11}{20}$

数学期望E（X）=$8×\frac{1}{20}+9×\frac{2}{5}+10×\frac{11}{20}=\frac{19}{2}$．

点评 本题考查了频率分布直方图，考查了离散型随机变量的期望与方差，考查了古典概型概率公式的应用，是中档题．