Question

13．设数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=4，a₃=9，a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3（n=4，5，…），则a₂₀₁₅=8057．

Answer 1

分析 由数列递推式得到a_n+1=a_n+a_n-1-a_n-2，进一步得到a_n+1+a_n-3=2a_n-1，说明数列{a_n}的奇数项和偶数项均构成等差数列，由等差数列的通项公式求得a₂₀₁₅．

解答 解：由a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3，得
a_n+1=a_n+a_n-1-a_n-2，
两式作和得：a_n+1=2a_n-1-a_n-3．
即a_n+1+a_n-3=2a_n-1（n=4，5，…）．
∴数列{a_n}的奇数项和偶数项均构成等差数列，
∵a₁=1，a₃=9，∴奇数项公差为8．
则a₂₀₁₅=a₁+8（1008-1）=1+8×1007=8057．
故答案为：8057．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．