Question

14．如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，△BEC为等边三角形，
（1）若平面ABE⊥平面ADE，求CD长度；
（2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设|CD|=d，取BE、AE中点O、F，连结OC、OF，以O为原点，OE、OC、OF为x，y，z轴建立坐标系，求出平面ABE的法向量、面ADE的一个法向量，利用平面ABE⊥平面ADE，求CD长度；
（2）利用向量的数量积公式，求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．

解答 解：（1）设|CD|=d，取BE、AE中点O、F，连结OC、OF，以O为原点，OE、OC、OF为x，y，z轴建立坐标系，则A（-2，0，4），B（-2，0，0），$C（0，2\sqrt{3}，0），D（0，2\sqrt{3}，d），E（2，0，0）$，
可得平面ABE的法向量为$\overrightarrow{OC}=（0，2\sqrt{3}，0）$
设面ADE的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=4x-4z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=-2x+2\sqrt{3}y+dz=0\end{array}\right.$可得$\overrightarrow n=（1，\frac{2-d}{{2\sqrt{3}}}，1）$
所有$\overrightarrow n•\overrightarrow{OC}=0⇒d=2$，所以CD长度为2．
（2）由（1）可知：面ADE的一个法向量$\overrightarrow n=（1，\frac{2-d}{{2\sqrt{3}}}，1）$，设直线AB与面ADE所成角为θ，则$sinθ=|\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow n|}}|=\frac{4}{{4\sqrt{1+1+\frac{{{{（2-d）}^2}}}{12}}}}∈（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，所以$θ∈（0，\frac{π}{4}]$．

点评 本题考查线面垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．