Question

19．已知等比数列{a_n}的前4项和S₄=5，且4a₁$，\;\frac{3}{2}{a_2}\;，\;{a_2}$成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}是首项为2，公差为-a₁的等差数列，其前n项和为T_n，求满足T_n-1＞0的最大正整数n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$4{a_1}\;，\;\frac{3}{2}{a_2}\;，\;{a_2}$成等差数列可得公比q=2，利用${S_4}=\frac{{{a_1}（1-{2^4}）}}{1-2}=5$得${a_1}=\frac{1}{3}$，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）得公差，进而可得通项及前n项和的表达式，解不等式T_n-1＞0即可．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，设{a_n}的公比为q，
∵$4{a_1}\;，\;\frac{3}{2}{a_2}\;，\;{a_2}$成等差数列，
∴4a₁+a₂=3a₂．
整理得2a₁=a₂，即2a₁=a₁q，解得q=2．
又${S_4}=\frac{{{a_1}（1-{2^4}）}}{1-2}=5$，解得${a_1}=\frac{1}{3}$．
∴${a_n}=\frac{1}{3}×{2^{n-1}}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得-a₁=$-\frac{1}{3}$，
∴${b_n}=2+（n-1）（-\frac{1}{3}）=\frac{7-n}{3}$．
T_n=$\frac{{2+\frac{7-n}{3}}}{2}×n=\frac{（13-n）n}{6}$，
又∵T_n-1＞0，∴$\frac{[13-（n-1）]（n-1）}{6}＞0$，
整理得（n-1）（n-14）＜0，
解得1＜n＜14．
故满足T_n-1＞0的最大正整数为13．

点评 本题考查等比数列的通项及求和等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．