Question

8．已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C-AB-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（　　）

• A． 2π
• B． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$π
• C． $\sqrt{2}$π
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$π

Answer 1

分析 找出二面角的平面角，设球的半径为R，则R²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-R）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，求出R，即可求出球的体积．

解答 解：作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C-AB-D的平面角，
CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OH=$\frac{1}{2}$，CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，
设球的半径为R，则R²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-R）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
∴R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴V=$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}π$．
故选：D．

点评 本小题主要考查球的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．