Question

13．已知函数f（x）=（x²-ax+a）e^x-x²，a∈R．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若f（x）在（0，+∞）单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，由题意可得f′（1）=0，解方程即可得到a的值；
（2）由题意可得，f′（x）=e^x[x²+（2-a）x]-2x≥0在（0，+∞）上恒成立．运用参数分离和函数的单调性，求得右边函数的范围，即可得到a的范围．

解答 解：（1）f（x）的导数为f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax+a）e^x-2x
=e^x[x²+（2-a）x]-2x，
由f（x）在x=1处取得极值，
则f′（1）=0，即e（1+2-a）-2=0，
解得a=3-$\frac{2}{e}$；
（2）由题意可得，f′（x）=e^x[x²+（2-a）x]-2x≥0在（0，+∞）上恒成立．
即为x+2-a≥$\frac{2}{{e}^{x}}$，即a≤x+2-$\frac{2}{{e}^{x}}$在（0，+∞）上恒成立．
由于x和-$\frac{2}{{e}^{x}}$在R上递增，则a≤0+2-$\frac{2}{{e}^{0}}$=0，
故a≤0．
即有实数a的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查导数的运用：判断单调性和求极值，同时考查参数分离和函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，属于中档题和易错题．