Question

1．函数f（x）=e^x-ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：$f'（{\sqrt{{x_1}{x_2}}}）\;＜0$（f′（x）为函数f（x）的导函数）；
（3）设点C在函数y=f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记$\sqrt{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}$=t，求（a-1）（t-1）的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=e^x-ax+a，知f′（x）=e^x-a，再由a的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间，然后根据交点求出a的取值范围；
（2）由x₁、x₂的关系，求出f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜0，然后再根据f′（x）=e^x-a的单调性，利用不等式的性质，问题得以证明；
（3）利用△ABC为等腰直角三角形的性质，求出$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$+y₀=0，然后得到关于参数a的方程at-$\frac{a}{2}$（1+t²）+$\frac{1}{2}（{t}^{2}-1）$=0，求得问题的答案．

解答 （1）解：∵f（x）=e^x-ax+a，
∴f'（x）=e^x-a，
若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．
∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna，
当f'（x）＜0时，x＜lna，f（x）是单调减函数，
当f'（x）＞0时，x＞lna，f（x）是单调增函数，
于是当x=lna时，f（x）取得极小值，
∵函数f（x）=e^x-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），
∴f（lna）=a（2-lna）＜0，即a＞e²，
此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0，
存在3lna＞lna，f（3lna）=a³-3alna+a＞a³-3a²+a＞0，
又由f（x）在（-∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，
可知a＞e²为所求取值范围．
（2）证明：∵${e}^{{x}_{1}}$-ax₁+a=0，${e}^{{x}_{2}}$-ax₂+a=0，
∴两式相减得a=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$．
记$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$=s（s＞0），则f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{{e}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}}{2s}$[2s-e^s-e^-s）]，
设g（s）=2s-（e^s-e^-s），
则g'（s）=2-（e^s+e^-s）＜0，
∴g（s）是单调减函数，
则有g（s）＜g（0）=0，而$\frac{{e}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}}{2s}$＞0，
∴f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜0．
又f'（x）=e^x-a是单调增函数，且$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}＞\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$
∴$f'（{\sqrt{{x_1}{x_2}}}）\;＜0$．                         
（3）解：依题意有${e}^{{x}_{i}}$-ax_i+a=0，则a（x_i-1）=${e}^{{x}_{i}}$⇒x_i＞1（i=1，2）．
于是${e}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=a$\sqrt{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，在等腰三角形ABC中，显然C=90°，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$∈（x₁，x₂），即y₀=f（x₀）＜0，
由直角三角形斜边的中线性质，可知$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$=-y₀，
∴$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$+y₀=0，
即${e}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$-$\frac{a}{2}$（x₁+x₂）+a+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$=0，
∴a$\sqrt{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$-$\frac{a}{2}$（x₁+x₂）+a+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$=0，
∵x₁-1≠0，$\sqrt{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}$=t，
∴at-$\frac{a}{2}$（1+t²）+$\frac{1}{2}（{t}^{2}-1）$=0，
即a=1+$\frac{2}{t-1}$，
∴（a-1）（t-1）=2．

点评 本题属于难题，考查了分类讨论的思想，转化思想，方程思想，做题要认真仔细，方法要明，过程要严谨，能提高分析问题解决问题的能力．