Question

10．已知函数f（x）=（x²+mx+m）$\sqrt{1-2x}$，（m∈R）
（1）当m=4时，求f（x）的极值．
（2）若f（x）在区间（0，$\frac{1}{4}$）上单调递增，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出m=4的函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，即可得到函数的极值；
（2）求出函数f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在区间（0，$\frac{1}{4}$）上恒成立．即有2-3m≥5x在区间（0，$\frac{1}{4}$）上恒成立．将x=$\frac{1}{4}$代入不等式，即可得到m的范围．

解答 解：（1）当m=4时，f（x）=（x²+4x+4）$\sqrt{1-2x}$（x$≤\frac{1}{2}$），
导数f′（x）=（2x+4）$\sqrt{1-2x}$-（x+2）²•$\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$=$\frac{-5x（x+2）}{\sqrt{1-2x}}$，
由f′（x）＞0解得-2＜x＜0，f（x）在（-2，0）递增；
由f′（x）＜0解得0＜x$≤\frac{1}{2}$，或x＜-2，f（x）在（-∞，-2），（0，$\frac{1}{2}$]递减．
即有f（x）在x=0处取得极大值，且为4，
在x=-2处取得极小值，且为$\sqrt{5}$；
（2）f（x）=（x²+mx+m）$\sqrt{1-2x}$的导数为
f′（x）=（2x+m）$\sqrt{1-2x}$-$\frac{{x}^{2}+mx+m}{\sqrt{1-2x}}$=$\frac{-5{x}^{2}+（2-3m）x}{\sqrt{1-2x}}$，
由f（x）在区间（0，$\frac{1}{4}$）上单调递增，
即为f′（x）≥0在区间（0，$\frac{1}{4}$）上恒成立．
即有2-3m≥5x在区间（0，$\frac{1}{4}$）上恒成立．
即为2-3m≥$\frac{5}{4}$，
解得m$≤\frac{1}{4}$．
则有m的取值范围是（-∞，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查函数的单调性的运用，运用参数分离和正确求导是解题的关键，属于中档题和易错题．