Question

2．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知棱长AB=$\sqrt{3}$，AA₁=1，截面AB₁C₁D为正方形．
（1）求点B₁到平面ABC₁的距离；
（2）求二面角B-AC₁-B₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，利用勾股定理可得$A{B}_{1}=\sqrt{A{B}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$，由于截面AB₁C₁D为正方形，可得AD=2．设平面ABC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），联络员向量垂直与数量积的关系可得$\overrightarrow{m}$，利用点B₁到平面ABC₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{m}|}$即可得出．
（2）设平面AB₁C₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，及其二面角角B-AC₁-B₁的正弦值=$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞}$即可得出．

解答 解：（1）如图所示，
∵棱长AB=$\sqrt{3}$，AA₁=1，
∴$A{B}_{1}=\sqrt{A{B}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$=2，
∵截面AB₁C₁D为正方形，
∴AD=2．
∴A（2，0，0），B（2，$\sqrt{3}$，0），B₁$（2，\sqrt{3}，1）$，C₁$（0，\sqrt{3}，1）$．
$\overrightarrow{AB}$=$（0，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1）．
设平面ABC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-2x+z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$=（1，0，2）．
∴点B₁到平面ABC₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=$（0，\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（-2，0，0），
设平面AB₁C₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}{y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=-2x=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=$（0，1，-\sqrt{3}）$，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{5}×2}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴二面角B-AC₁-B₁的正弦值=$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角B-AC₁-B₁的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了通过建立空间直角坐标系利用法向量求空间距离与空间角、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．