Question

12．在平面直角坐标系中，定义点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的直角距离为L（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，点A（x，2），B（1，a），C（-2，1）
（1）当a=3时，若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；
（2）若对任意x∈R，L（A，B）+L（A，C）＞L（B，C）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=3时，由L（A，B）＞L（A，C），得出|x-1|＞|x+2|，解此不等式即可；
（2）化简L（A，B）+L（A，C）＞L（B，C），得|x-1|+|x+2|＞|a-1|-|a-2|+2，求出|x-1|+|x+2|的最小值，令|a-1|-|a+2|+2＜3，讨论a的取值，解不等式即可．

解答 解：（1）根据题意，当a=3时，L（A，B）=|x-1|+|2-3|=|x-1|+1，
L（A，C）=|x+2|+|2-1|=|x+2|+1；
又L（A，B）＞L（A，C），
∴|x-1|+1＞|x+2|+1，
即|x-1|＞|x+2|，
两边平方，得（x-1）²＞（x+2）²，
解得x＜-$\frac{1}{2}$，
∴x的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）；
（2）根据题意，L（A，B）+L（A，C）=|x-1|+|2-a|+|x+2|+1，
L（B，C）=|1+2|+|a-1|=|a-1|+3，
且L（A，B）+L（A，C）＞L（B，C），
∴|x-1|+|x+2|＞|a-1|-|a-2|+2对任意x∈R，恒成立，
又|x-1|+|x+2|的最小值是3，
∴|a-1|-|a+2|+2＜3，
即|a-1|-|a+2|＜1；
当a≥1时，不等式化为（a-1）-（a+2）＜1，
即-3＜1，∴a≥1；
当1＞a＞-2时，不等式化为-（a-1）-（a+2）＜1，
即-2a＜2，解得a＞-1，∴1＞a＞-1；
当a≤-2时，不等式化为-（a-1）+（a+2）＜1，
即3＜1，不等式不成立；
综上，a的取值范围是（-1，+∞）．

点评 本题考查了分类讨论思想的应用问题，考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，是综合性题目．