Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，M，N分别为AB，PC的中点，PD=AD=2，AB=4．则点A到平面PMN的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 取PD的中点E，连接AE，NE，证明AE∥MN，可得点A到平面PMN的距离等于E到平面PMN的距离，由V_E-PMN=V_M-PEN，可得点A到平面PMN的距离．

解答 解：取PD的中点E，连接AE，NE，则
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别为AB，PC的中点，
∴NE∥AM，NE=AM，
∴AENM是平行四边形，
∴AE∥MN，
∴点A到平面PMN的距离等于E到平面PMN的距离，设为h，
△PMN中，PN=$\sqrt{5}$，PM=2$\sqrt{3}$，MN=$\sqrt{5}$，∴S_△PMN=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$，
由V_E-PMN=V_M-PEN，可得$\frac{1}{3}×\sqrt{6}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×2$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查点A到平面PMN的距离，考查学生的计算能力，点A到平面PMN的距离转化为E到平面PMN的距离是关键．