Question

1．设函数f（x）=ax³-x+1（x∈R），若对于任意x∈[-1，1]都有f（x）≥0，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，2]
• B． [0+∞）
• C． [0，2]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 对x讨论，当x=0，当x∈（0，1]时，f（x）=ax³-3x+1≥0可化为：aa≥$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，设g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，由导数判断单调性，即可求出a≥0；x∈[-1，0）时，求出a≤2，由此可得a的取值范围．

解答 解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；
当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax³-x+1≥0可化为：
a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
设g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，则g′（x）=$\frac{3-2x}{{x}^{4}}$，
所以g（x）在区间（0，1]上单调递增，
因此g（x）_max=g（1）=0，从而a≥0；
当x＜0即x∈[-1，0）时，f（x）=ax³-x+1≥0可化为：a≤$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
设g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，则g′（x）=$\frac{3-2x}{{x}^{4}}$，
g（x）在区间[-1，0）上单调递增，
因此g（x）_min=g（-1）=2，
从而a≤2，
则0≤a≤2．
即有实数a的取值范围为[0，2]．
故选：C．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．