Question

6．已知递增的等差数列{a_n}的前n项和S_n，且a₂、a₄是函数f（x）=（x²-14x+46）e^x的两个极值点，数列{b_n}满足：点（b_n，T_n）（n∈N^*）在函数y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$的图象上，其中T_n是数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+3}$•b_n，求证：$\frac{5}{6}$≤$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）通过f′（x）=0及等差数列{a_n}是递增的，可得a₂=4，a₄=8，进而可得a_n=2n，将点（b_n，T_n）（n∈N^*）代入函数y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$，利用b_n+1=T_n+1-T_n=可得数列{b_n}是公比为3的等比数列，计算即可；
（2）通过c_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+3}$•b_n=$\frac{n（n+1）}{2n+3}•{3}^{n}$，可得$\frac{1}{{c}_{n}}$=2$\frac{1}{（n+1）•{3}^{n}}$+$\frac{1}{n（n+1）•{3}^{n-1}}$，当n≥4时利用放缩法即可．

解答 （1）解：∵f（x）=（x²-14x+46）e^x，
∴f′（x）=（2x-14）e^x+（x²-14x+46）e^x=（x²-12x+32）e^x，
∵a₂、a₄是函数f（x）=（x²-14x+46）e^x的两个极值点，
∴a₂、a₄是方程x²-12x+32=0的两个根，
又∵等差数列{a_n}是递增的，
∴a₂=4，a₄=8，
∴d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{2}}{2}$=2，a₁=a₂-d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
S_n=$2n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n（n+1）；
∵点（b_n，T_n）（n∈N^*）在函数y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$的图象上，
∴T_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$，T_n+1=$\frac{3}{2}$b_n+1-$\frac{3}{2}$，
∴b_n+1=T_n+1-T_n=（$\frac{3}{2}$b_n+1-$\frac{3}{2}$）-（$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$b_n+1-$\frac{3}{2}$b_n，
∴b_n+1=3b_n，即数列{b_n}是公比为3的等比数列，
由b₁=$\frac{3}{2}$b₁-$\frac{3}{2}$，知b₁=3，
∴b_n=3•3^n-1=3ⁿ；
（2）证明：c_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+3}$•b_n=$\frac{n（n+1）}{2n+3}•{3}^{n}$，
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{2n+3}{n（n+1）•{3}^{n}}$=2$\frac{1}{（n+1）•{3}^{n}}$+$\frac{1}{n（n+1）•{3}^{n-1}}$，
∵$\frac{1}{{c}_{1}}$=$\frac{2+3}{2•3}$=$\frac{5}{6}$，
∴$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$≥$\frac{5}{6}$，
当n=2时，$\frac{1}{{c}_{2}}$=2$\frac{1}{3•{3}^{2}}$+$\frac{1}{2•3•3}$=$\frac{7}{54}$，
当n=3时，$\frac{1}{{c}_{3}}$=$\frac{2•3+3}{3•4•{3}^{3}}$=$\frac{1}{36}$，
∴$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+$\frac{1}{{c}_{3}}$＜1，
当n≥4时，2$\frac{1}{（n+1）•{3}^{n}}$≤2$\frac{1}{5•{3}^{n}}$，
$\frac{1}{n（n+1）•{3}^{n-1}}$≤$\frac{1}{4•5•{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$≤$\frac{5}{6}$+$\frac{7}{54}$+$\frac{1}{36}$+2$•\frac{1}{5}$•$\frac{\frac{1}{81}[1-（\frac{1}{3}）^{n-3}]}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{20}$•$\frac{\frac{1}{27}[1-（\frac{1}{3}）^{n-3}]}{1-\frac{1}{3}}$
＜$\frac{5}{6}$+$\frac{7}{54}$+$\frac{1}{36}$+2$•\frac{1}{5}$•$\frac{1}{54}$+$\frac{1}{20}$•$\frac{1}{18}$
＜1，
综上所述，$\frac{5}{6}$≤$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$＜1．

点评 本题是一道数列与不等式、函数的综合题，考查分析问题、解决问题的能力，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．