Question

18．函数f（x）=ax²+2bx-（a+b），其中a，b为正实数，求函数f（x）的图象截x轴所得线段的长度的取值范围．

Answer 1

分析 设x₁，x₂是方程ax²+2bx-（a+b）=0的两个根，从而由根与系数的关系得（x₁-x₂）²=$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}$+4$\frac{b}{a}$+4，从而解得．

解答 解：由题意，设x₁，x₂是方程ax²+2bx-（a+b）=0的两个根，
则x₁+x₂=-$\frac{2b}{a}$，x₁x₂=-$\frac{（a+b）}{a}$；
则（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}$+4×$\frac{（a+b）}{a}$
=$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}$+4×$\frac{b}{a}$+4，
∵a，b为正实数，
∴$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}$+4×$\frac{b}{a}$+4＞4，
即|x₁-x₂|＞2，
即函数f（x）的图象截x轴所得线段的长度的取值范围为（2，+∞）．

点评 本题考查了二次函数与二次方程的关系应用，属于基础题．