Question

8．已知函数f（x）=x²-alnx在[1，+∞）是增函数．
（1）求a的取值范围；
（2）当a=2，b＞-1时，若对于任意的x∈（0，1]，都有f（x）≥2bt-$\frac{1}{{t}^{2}}$在t∈（0，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，由题意可得，f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立，即有a≤2x²在[1，+∞）恒成立，运用二次函数求得右边的最小值即可；
（2）求得f（x）在（0，1]的单调性，可得最小值为1，再由参数分离可得2b≤$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{{t}^{3}}$在（0，1]上恒成立．求得右边函数的最小值，即可得到b的范围．

解答 解：（1）f（x）=x²-alnx的导数为f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$，
由题意可得，f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
即有a≤2x²在[1，+∞）恒成立，
由于2x²≥2，x=1时，取得最小值2．
则a≤2；
（2）当a=2时，f（x）=x²-2lnx的导数为f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$，
当0＜x≤1时，f′（x）≤0，f（x）递减，当x=1时，取得最小值1．
f（x）≥2bt-$\frac{1}{{t}^{2}}$在（0，1]上恒成立，即为2bt-$\frac{1}{{t}^{2}}$≤1在（0，1]上恒成立．
即有2b≤$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{{t}^{3}}$在（0，1]上恒成立．
由于$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{{t}^{3}}$在（0，1]上的导数-$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{3}{{t}^{4}}$＜0，函数递减．
即有t=1时，取得最小值2．
则有2b≤2，解得b≤1，
又b＞-1，即-1＜b≤1．
则有b的取值范围是（-1，1]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用参数分离和正确求导是解题的关键．