Question

4．设点F是抛物线y²=2x的焦点，过抛物线上一点P，沿x轴正方向作射线PQ∥x轴，若∠FPQ的平分线PR所在直线的斜率为-2，则点P的坐标为（2，2）．

Answer 1

分析 抛物线y²=2x的焦点为F（$\frac{1}{2}$，0），准线方程为l：x=-$\frac{1}{2}$，设直线PQ与准线交于A，由抛物线的定义知|PA|=|PF|，过F作∠FPQ的平分线PR的垂线与PQ交于Q，则|PF|=|PQ|，证明AF∥PR，即可求出点P的坐标．

解答 解：抛物线y²=2x的焦点为F（$\frac{1}{2}$，0），准线方程为l：x=-$\frac{1}{2}$，
设直线PQ与准线交于A，由抛物线的定义知|PA|=|PF|，
过F作∠FPQ的平分线PR的垂线与PQ交于Q，则|PF|=|PQ|，
∴△AFQ是直角三角形，且AF⊥FQ，
∴AF∥PR，
∴AF的斜率为-2，方程为y=-2（x-$\frac{1}{2}$），
x=-$\frac{1}{2}$时，y=2，代入y²=2x，可得x=2，
∴P（2，2），
故答案为：（2，2）．

点评 本题考查直线方程的求法，考查抛物线的简单性质、斜率计算公式、点斜式方程等知识点的合理运用．