Question

9．已知圆M：（x+2）²+y²=32及定点N（2，0），点P是圆M上的动点，点G在MP上，且满足|GP|=|GN|，G点的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设Q点是曲线C上异于曲线C与x轴交点的任意一点，试问在x轴上是否存在两个定点A，B使直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出所有符合条件的两个定点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由|PG|=|GN|，知|GN|+|GM|=|MP|=4$\sqrt{2}$，由椭圆定义可知，点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，由此能求出点G的轨迹C的方程；
（2）假设在x轴上存在两个定点A，B使直线QA，QB的斜率之积为定值．设A（s，0），B（t，0），Q（x₀，y₀）．运用斜率公式，计算化简整理，由Q在椭圆上满足椭圆方程和定值思想，可得s+t=0，st=8，求得s，t，进而得到定值．

解答 解：（1）圆M：（x+2）²+y²=32的圆心M（-2，0），半径r=4$\sqrt{2}$，
∵|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=4$\sqrt{2}$，
又∵|MN|=4，∴|GN|+|GM|＞|MN|，
由椭圆定义可知，点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，
设方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
则2a=4$\sqrt{2}$，2c=4，∴a=2$\sqrt{2}$，c=2，b=$\sqrt{8-4}$=2，
∴点G的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）假设在x轴上存在两个定点A，B使直线QA，QB的斜率之积为定值．
设A（s，0），B（t，0），Q（x₀，y₀）．
则k_QA•k_QB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-s}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-t}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}（s+t）+st}$，
∵y₀²=4（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}$），
∴k_QA•k_QB=$\frac{4-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}（s+t）+st}$，
要使上述值为定值，则必有：s+t=0，st=-8，
解得s=-t=±2．
∴可取A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），
则k_QA•k_QB=-$\frac{1}{2}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
故在x轴上存在两个定点A，B，且A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），
使直线QA，QB的斜率之积为定值-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，同时考查存在性问题的解决方法，注意运用点满足方程，以及直线的斜率公式及恒成立思想，属于中档题和易错题．