Question

14．已知在棱长为6正四面体ABCD中，E为AD的中点．
（1）求二面角A-CD-B的余弦值；
（2）求点E到平面BCD的距离．

Answer 1

分析 （1）先作出二面角A-CD-B的平面角，再利用余弦定理求解即可；
（2）作AO⊥平面BCD，求出AO，即可求点E到平面BCD的距离．

解答 解：（1）取CD的中点F，连接AF，BF，
∵四面体ABCD是正四面体，
∴AF⊥CD，且BF⊥CD，
∴∠AFB即为二面角A-CD-B的平面角，
又∵四面体ABCD的棱长为6，
则AF=BF=3$\sqrt{3}$，
则cos∠AEB=$\frac{A{E}^{2}+B{E}^{2}-A{B}^{2}}{2AE•BE}$=$\frac{1}{3}$；
（2）作AO⊥平面BCD，则OF=$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∵E为AD的中点，
∴点E到平面BCD的距离$\sqrt{6}$．

点评 本题考查二面角的平面角，考查余弦定理，考查点E到平面BCD的距离，正确作出二面角的平面角是关键．