Question

19．“抢红包“的网络游戏给2015年的春节增添了一份趣味．”掐女红包“有多种玩法，小明参加一种接龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A，并给出金额所在区间[1，9]，让A猜（所猜金额为整数元；下同），如果A猜中，A将获得红包里的金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，同时给出金额所在区间[6，9]，让B猜，如果B猜中，A和B可以评分红包里的金额；如果B未猜中，B要将当前的红包转发个朋友C，同时给出金额所在区间[8，9]，让C猜，如果C猜中，A、B和C可以评分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的资金将退回小明的账户．
（Ⅰ）求A恰好得到3元的概率；
（Ⅱ）设A所获得的金额为X元，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）从统计学的角度而言，A所获得的金额是否超过B和C两人所获得的金额之和？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据如果C猜中，A、B和C可以评分红包里的金额，求A恰好得到3元的概率；
（Ⅱ）设A所获得的金额为X元，X的可能取值为0，3，4.5，9，求出相应的概率，即可求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）求出B，C的期望，再从统计学的角度而言，确定A所获得的金额是否超过B和C两人所获得的金额之和．

解答 解：（Ⅰ）A恰好得到3元的概率P（M）=$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）X的可能取值为0，3，4.5，9，则
P（X=3）=$\frac{1}{3}$，P（X=0）=$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，P（X=4.5）=$\frac{8}{9}×\frac{1}{4}$=$\frac{2}{9}$，P（X=9）=$\frac{1}{9}$，
X的分布列

X	0	3	4.5	9
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

E（X）=0×$\frac{1}{3}$+3×$\frac{1}{3}$+4.5×$\frac{2}{9}$+9×$\frac{1}{9}$=3；
（Ⅲ）设B获得的金额为Y元，则Y的取值为0，3，4.5
P（Y=0）=$\frac{1}{9}$+$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{4}{9}$，P（Y=3）=$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$
P（Y=4.5）=$\frac{8}{9}×\frac{1}{4}$=$\frac{2}{9}$，
Y的分布列

Y	0	3	4.5
P	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$

E（Y）=0×$\frac{4}{9}$+3×$\frac{1}{3}$+4.5×$\frac{2}{9}$=2，
设C获得的金额为Z元，则Z的取值为0，3．
P（Z=0）=$\frac{1}{9}$+$\frac{8}{9}×\frac{1}{4}$+$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$，P（Z=3）=$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
Z的分布列

Z	0	3
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$

E（Z）=0×$\frac{2}{3}$+3×$\frac{1}{3}$=1，
∴E（X）=E（Y）+E（Z），
∴从统计学的角度而言，A所获得的金额不超过B和C两人所获得的金额之和．

点评 本题考查概率知识的运用，考查分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．