Question

11．已知非钝角三角形ABC中，∠B=60°，边AB减去BC的长等于AC边上的高，若sinC与-sinA分别是方程x²-mx+m²-$\frac{3}{4}$=0的两根，求实数m的值和角A，C的大小．

Answer 1

分析 画出图形，利用直角三角形的边角关系结合已知条件列出方程组，求解即可．

解答 解：设三角形ABC的AC边上的高为h，由∠B=60°，且三角形是非钝角三角形，
∴AB=$\frac{h}{sinA}$，BC=$\frac{h}{sinC}$，由题意可得，AB-BC=h，
∴$\frac{h}{sinA}-\frac{h}{sinC}=h$∴sinC-sinA=sinCsinA，
又sinC与-sinA分别是方程x²-mx+m²-$\frac{3}{4}$=0的两根，
∴sinC-sinA=m，与-sinCsinA=m²-$\frac{3}{4}$，可得$\frac{3}{4}$-m²=m，
解得m=$\frac{1}{2}$，（m=-$\frac{3}{2}$舍去）
sinCsinA=$\frac{1}{2}$，sinA（sinA+$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
2sin²A+sinA-1=0，可得sinA=$\frac{1}{2}$，sinA=-1（舍去）．
所以A=30°，C=90°．

点评 本题考查三角形的解法，三角函数与才的关系，考查计算能力．