Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AOB=90°．
（Ⅰ）若直线l平行于x轴，求△AOB的面积；
（Ⅱ）若直线l始终与圆x²+y²=r²（r＞0）相切，求r的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设出A，B两点的坐标，结合∠AOB=90°，得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，进一步得到A的横纵坐标的关系，代入椭圆方程求得坐标，得到B的坐标，然后代入三角形的面积公式得答案；
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得到关于x的一元二次方程，写出判别式大于0，再由根与系数关系得到A，B两点横纵坐标的和与积，代入x₁x₂+y₁y₂=0得到m与k的关系，结合判别式大于0求得m的范围，再由直线l始终与圆x²+y²=r²（r＞0）相切，得到圆的半径与m的关系，从而求得r的值，当直线l的斜率不存在时，由直线l与圆x²+y²=r²（r＞0）相切直接求得r的值，则r值可求．

解答 解：（Ⅰ）不妨设直线l在x轴上方，则A，B两点关于y轴对称，
设A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），（x₁＜0，y₁＞0），
则$\overrightarrow{OA}=（{x}_{1}，{y}_{1}），\overrightarrow{OB}=（-{x}_{1}，{y}_{1}）$，
由∠AOB=90°，得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴${{y}_{1}}^{2}={{x}_{1}}^{2}$．
又∵点A在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1$．
由于x₁＜0，解得：${x}_{1}=-\frac{2}{5}\sqrt{5}，{y}_{1}=\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
则A（$-\frac{2}{5}\sqrt{5}，\frac{2}{5}\sqrt{5}$），B（$\frac{2}{5}\sqrt{5}，\frac{2}{5}\sqrt{5}$）．
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．
方程的判别式△=4k²-m²+1＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$．
由∠AOB=90°，得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m），
则${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+mk（{x}_{1}+{x}_{2}）$+m²=0
∴$（1+{k}^{2}）\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}+mk\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}+{m}^{2}=0$．
整理得：5m²-4k²-4=0．
把4k²=5m²-4代入△=4k²-m²+1＞0，得${m}^{2}＞\frac{3}{4}$．
而4k²=5m²-4≥0，∴${m}^{2}≥\frac{4}{5}$，满足${m}^{2}＞\frac{3}{4}$．
直线l始终与圆x²+y²=r²（r＞0）相切，得
${r}^{2}=\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$，由${m}^{2}=\frac{4}{5}{k}^{2}+\frac{4}{5}$，得${r}^{2}=\frac{4}{5}$．
∵r＞0，∴r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
当直线l的斜率不存在时，若直线l与圆x²+y²=r²（r＞0）相切，
此时直线l的方程为：x=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$，r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
综上所述：r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了向量在解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线与圆锥曲线，圆与圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，利用一元二次方程的根与系数关系求解，特点是运算量大，要求考生具有较强的运算能力，是压轴题．