Question

18．已知函数f（x）=ln（x+1）-x²-ax+b在点（0，f（0））处的切线方程为y+2=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）若函数g（x）=f′（x）+3x在区间（m，2m+1）上不是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）在x=0处的切线方程为y+2=0，得f（0）=-2，f′（0）=0，求出实数a，b的值即可；
（2）根据函数g（x）在区间（m，2m+1）上不是单调函数，得出g′（m）•g′（2m+1）＜0，求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ln（x+1）-x²-ax+b，且x＞-1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2x-a；
又函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y+2=0，
∴f′（0）=1-a=0，解得a=1，
且f（0）=ln1+b=-2，解得b=-2，
∴f（x）=ln（x+1）-x²-x-2；
（Ⅱ）∵f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2x-1（x＞-1），
∴g（x）=f′（x）+3x=$\frac{1}{x+1}$-2x-1+3x=$\frac{1}{x+1}$+x-1，
∴g′（x）=-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$+1（x＞-1）；
又函数g（x）在区间（m，2m+1）上不是单调函数，
∴g′（m）•g′（2m+1）＜0，
即[1-$\frac{1}{{（m+1）}^{2}}$]•[1-$\frac{1}{{（2m+2）}^{2}}$]＜0，
∴（1+$\frac{1}{m+1}$）（1-$\frac{1}{m+1}$）（1+$\frac{1}{2（m+1）}$）（1-$\frac{1}{2（m+1）}$）＜0；
∵m＞-1，∴m+1＞0，∴1+$\frac{1}{m+1}$＞0，1+$\frac{1}{2（m+1）}$＞0，
∴（1-$\frac{1}{m+1}$）（1-$\frac{1}{2（m+1）}$）＜0，
即m（2m+1）＜0，
解得-$\frac{1}{2}$＜m＜0，
∴实数m的取值范围（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查了利用函数的导数求曲线的斜率与切线方程的应用问题，也考查了利用函数的导数判断函数的单调性问题，是综合性题目．