Question

8．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x+1}（x＜0）}\\{\sqrt{-{x}^{2}+2x}（0≤x≤2）}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-kx-2k恰有两个零点，则实数k的取值范围是[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪（1，$\frac{e}{2}$）．

Answer 1

分析 由题意可得，f（x）=k（x+2）有两个不等的实根，作出y=f（x）的图象和直线y=k（x+2），通过图象观察它们有两个交点的情况，注意运用导数求切线的斜率和直线和圆相切的条件：d=r．

解答 解：函数g（x）=f（x）-kx-2k恰有两个零点，
即为f（x）=k（x+2）有两个不等的实根，
作出y=f（x）的图象和直线y=k（x+2），
当x＜0时，直线和曲线相切，设切点为（m，km+2k），
由e^m+1=km+2k=k，k≠0，解得k=1，m=-1，
当直线经过点（0，e），k=$\frac{e}{2}$，
由图象可知，当1＜k＜$\frac{e}{2}$时，直线和曲线有两个交点，
当直线和半圆相切，d=r=1，圆心为（1，0），
由$\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（负的舍去），
由图象可得，0≤k＜$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，直线和半圆有两个交点．
则有k的取值范围是[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪（1，$\frac{e}{2}$）．
故答案为：[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪（1，$\frac{e}{2}$）．

点评 本题考查函数的零点的求法，主要考查函数和方程的转化思想，运用数形结合的思想方法是解题的关键．