Question

20．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如表：

题	A	B	C
答卷数	180	300	120

（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？
（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；
（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．

Answer 1

分析 （I）由$\frac{180}{3}$=60可知：每60份试卷抽一份，即可得出；
（II）记事件M：被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，利用相互独立试卷的概率计算公式即可得出；
（Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为$\frac{1}{3}$，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B$（5，\frac{1}{3}）$．利用P（X=k）=${∁}_{5}^{k}（\frac{1}{3}）^{k}（\frac{2}{3}）^{5-k}$（k=0，1，2，3，4，5），及其E（X）=np即可得出分布列及其数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：

题	A	B	C
答卷数	180	300	230
抽出的答卷数	3	5	2

应分别从B、C题的答卷中抽出5份，2份．
（Ⅱ）记事件M：被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，依题意P（M）=$\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×1$=$\frac{1}{5}$．
（Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为$\frac{1}{3}$，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B$（5，\frac{1}{3}）$．P（X=k）=${∁}_{5}^{k}（\frac{1}{3}）^{k}（\frac{2}{3}）^{5-k}$（k=0，1，2，3，4，5），可得P（X=0）=$\frac{32}{243}$，P（X=1）=$\frac{80}{243}$，P（X=2）=$\frac{80}{243}$，P（X=3）=$\frac{40}{243}$，P（X=4）=$\frac{10}{243}$，P（X=0）=$\frac{1}{243}$，
随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{1}{243}$

∴E（X）=np=$5×\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了随机变量的二项分布列及其数学期望、分层抽样、相互独立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．