Question

15．已知a、b、c＞0，证明：（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）（a+b+c）²≥27．

Answer 1

分析 根据几个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，进行证明即可．

解答 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{1}{{a}^{2}}•\frac{1}{{b}^{2}}•\frac{1}{{c}^{2}}}$=3$\root{3}{\frac{1}{{（abc）}^{2}}}$，
a+b+c≥3$\root{3}{abc}$；
∴（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）（a+b+c）²≥3$\root{3}{\frac{1}{{（abc）}^{2}}}$•${（3\root{3}{abc}）}^{2}$
=27•$\root{3}{\frac{1}{{（abc）}^{2}}}$•$\root{3}{{（abc）}^{2}}$
=27，
当且仅当a=b=c时，“=”成立．

点评 本题考查了利用几个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数证明不等式的应用问题，是基础题目．