Question

6．某校在一次数学考试中随机抽取了N名学生的成绩并分成一下五组，第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右后3个小组的频率之比为3：2：1，其中第4组的频数为20．
（1）从样本中属于第1组和第5组的学生中随机抽取2人，设他们的成绩分别为x，y，求事件“抽取的2人都在第1组或都在第5组”的概率；
（2）学校从成绩在[75，85）的第1，2组学生中用分层抽样的方法抽取24名学生进行复试，若第1组被抽中的学生实力相当，且能通过复试的概率均为$\frac{1}{5}$，设第一组的学生能通过复试的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频从左到右后3个小组的频率之比为3：2：1，能求出第3，4，5组的频率，利用第4组的频数为20，求出第1组和第5组的频数分别为5，10，即可求事件“抽取的2人都在第1组或都在第5组”的概率；
（2）学校从成绩在[75，85）的第1，2组学生中用分层抽样的方法抽取24名学生进行复试，则第1，2组各抽取3，21名．由已知得X～B（3，$\frac{1}{5}$），且P（X=k）=${C}_{3}^{k}•（\frac{1}{5}）^{k}•（\frac{4}{5}）^{3-k}$，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）从左到右后3个小组的频率之和为1-（0.07+0.01）×5=0.6，
∵从左到右后3个小组的频率之比为3：2：1，
∴第4组的频率为0.2，
∵第4组的频数为20，
∴N=100．
∴第1组和第5组的频数分别为5，10，
∴事件“抽取的2人都在第1组或都在第5组”的概率为$\frac{{C}_{5}^{2}{+C}_{10}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{11}{21}$；
（2）学校从成绩在[75，85）的第1，2组学生中用分层抽样的方法抽取24名学生进行复试，则第1，2组各抽取3，21名．
由已知得X～B（3，$\frac{1}{5}$），且P（X=k）=${C}_{3}^{k}•（\frac{1}{5}）^{k}•（\frac{4}{5}）^{3-k}$，k=0，1，2，3，
∴X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

X的数学期望EX=np=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$，

点评 本题考查概率知识，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，正确求概率是关键．