Question

18．已知f（x）=$\sqrt{2|x+1|+|2x-3|-m}$定义域为R．
（1）求m的取值范围；
（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足$\frac{1}{3a+b}$+$\frac{2}{a+2b}$=n时，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数定义域为R，可得|x+1}+|x-$\frac{3}{2}$|≥$\frac{1}{2}$m恒成立，利用绝对值几何意义求出其最小值即可；
（2）由（1）知n=5，变形a+b=$\frac{1}{5}$[（3a+b）+2（a+2b）]×$\frac{1}{5}$（$\frac{1}{3a+b}$+$\frac{2}{a+2b}$），利用基本不等式的性质即可得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{2|x+1|+|2x-3|-m}$定义域为R．
∴2|x+1}+|2x-3|-m≥0，
∴|x+1}+|x-$\frac{3}{2}$|≥$\frac{1}{2}$m，
根据绝对值的几何意义，可得：
∴|x+1}+|x-$\frac{3}{2}$|≥[$\frac{3}{2}$-（-1）]=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{5}{2}$≥$\frac{1}{2}$m，
∴m≤5；
（2）由（1）知，n=5，
∴$\frac{1}{3a+b}$+$\frac{2}{a+2b}$=5，
∴a+b=$\frac{1}{5}$[（3a+b）+2（a+2b）]×$\frac{1}{5}$（$\frac{1}{3a+b}$+$\frac{2}{a+2b}$）=$\frac{1}{25}$[1+$\frac{2（3a+b）}{a+2b}$+$\frac{2（a+2b）}{3a+b}$+4]≥$\frac{1}{25}$（5+2$\sqrt{\frac{2（3a+b）}{a+2b}•\frac{2（a+2b）}{3a+b}}$）=$\frac{9}{25}$，当且仅当当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=$\frac{6}{25}$时取等号．
∴a+b的最小值$\frac{9}{25}$．

点评 本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题