Question

14．某地区由于加工皮毛专业，释放染色废水污染了大量土地，对农业造成了很大损失，当地农业局对6个地区送来的样土进行化验检查时由于管理员疏忽，把现有的6瓶瓶装样土的标签弄混了，初步知道，该地区土质呈碱性，其他地区土质呈酸性，现对6瓶样土进行酸碱性的检验：看ph值试纸颜色确定，下面是两种检验方案：
方案甲：逐个检验，直到能确定污染样土为止；
方案乙：将样土分为两组，每组三瓶，并将它们混在一起检验，若结果呈蓝色，则表明污染样土在这3瓶之中，然后再逐个检验，直到确定污染样土为止；若结果呈红色，则在另外一组瓶装样土中逐个进行检验．
（1）求依方案乙所需检验恰好为2次的概率；
（2）首次检验的检验费10元，第二次检验的检验费8元，第三次及其以后每次都是6元，列出甲方案所需检验费用的分布列，并估计用甲方案平均需要检验费多少？
（3）试比较两种方案，估计哪种方案有利于尽快查找到污染样土．

Answer 1

分析 （1）依方案乙所需检验恰好为2次，有两种可能：①先验结果为蓝色，再从中逐个验时，恰好一次验中；②先验结果为红色，再从另外一组瓶装样土中恰好一次验中，由此能求出依方案乙所需检验恰好为2次的概率．
（2）由题意知甲方案所需检验费用X=10，8，6，由此能求出X的分布列和EX，从而求出用甲方案平均需要检验费7元．
（3）设甲方案的试验的次数为ξ，ξ=1，2，3，4，5，求出Eξ；设乙方案的试验次数为η，η=2，3，求出Eη，比较可得乙方案有利于尽快查找到污染样土．

解答 解：（1）依方案乙所需检验恰好为2次，有两种可能：
①先验结果为蓝色，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：$\frac{{C}_{5}^{2}{A}_{3}^{3}}{{A}_{6}^{3}}•\frac{1}{{A}_{3}^{3}}$=$\frac{1}{12}$．
②先验结果为红色，再从另外一组瓶装样土中恰好一次验中概率为：$\frac{{A}_{5}^{3}}{{A}_{6}^{3}}•\frac{1}{{A}_{3}^{3}}$=$\frac{1}{12}$．
∴依方案乙所需检验恰好为2次的概率为$\frac{1}{12}+\frac{1}{12}$=$\frac{1}{6}$．
（2）由题意知甲方案所需化检验费用X=10，8，6，
P（X=10）=$\frac{1}{6}$，P（X=8）=$\frac{1}{6}$，P（X=6）=$\frac{2}{3}$，
∴X的分布列为：

X	10	8	6
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$

EX=10×$\frac{1}{6}$+8×$\frac{1}{6}$+6×$\frac{2}{3}$=7．
∴用甲方案平均需要检验费7元．
（3）设甲方案的试验的次数为ξ，ξ=1，2，3，4，5，
P（ξ=1）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4）=$\frac{1}{6}$，P（ξ=5）=$\frac{2}{6}$，
Eξ=（1+2+3+4）×$\frac{1}{6}$+5×$\frac{2}{6}$=$\frac{10}{3}$，
设乙方案的试验次数为η，η=2，3，
P（η=2）=$\frac{1}{6}$，P（η=3）=$\frac{5}{6}$，
Eη=2×$\frac{1}{6}$+3×$\frac{5}{6}$=$\frac{17}{6}$，
Eη＜Eξ，∴乙方案有利于尽快查找到污染样土．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法及应用，解题时要认真审题，是中档题．