Question

2．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{a}{2}$x²+bx+c，其中a＞0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为x轴．
（1）若x=1为f（x）的极值点，求f（x）的解析式；
（2）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，列出方程解出a、b、c，从而确定解析式；
（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，数形结合解决即可．

解答 解：（I）由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+bx+c得：f（0）=c，f′（x）=x²-ax+b，f′（0）=b．
又由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为x轴，得f（0）=0，f′（0）=0．
故b=0，c=0．（2分）
又f′（1）=0，
所以a=-1，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²（4分）
（II）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²，f′（x）=x²-ax．
由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化简得$\frac{2}{3}{t}^{3}-\frac{a}{2}{t}^{2}+2$=0，即t满足的方程为$\frac{2}{3}{t}^{3}-\frac{a}{2}{t}^{2}+2$=0．（6分）
过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）
有三个相异的实根，即等价于方程$\frac{2}{3}{t}^{3}-\frac{a}{2}{t}^{2}+2$=0有三个相异的实根．
设g（t）=$\frac{2}{3}{t}^{3}-\frac{a}{2}{t}^{2}+2$，g′（t）=2t（t-$\frac{a}{2}$），
由于a＞0，可得函数在（-∞，0），（$\frac{a}{2}$，+∞）上单调递增，在（0，$\frac{a}{2}$）上单调递减
故有要使g（t）=0有三个相异的实根，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（\frac{a}{2}）＜0}\end{array}\right.$时满足，
即$\left\{\begin{array}{l}{2＞0}\\{2-\frac{{a}^{3}}{24}＜0}\end{array}\right.$，
∴a＞$2\root{3}{6}$．
∴a的取值范围是（$2\root{3}{6}$，+∞）（12分）．

点评 本题考查导数的综合运用以及数形结合的运用能力，对学生有一定的能力要求，有一定的难度