Question

12．已知数列{a_n}满足a_n≠0，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2，n∈N^*），则a_n=$\frac{1}{2n+1}$，a₁a₂+a₂a₃+…+a₉₉a₁₀₀=$\frac{11}{67}$．

Answer 1

分析 通过对a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2，n∈N^*）变形可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以3为首项、2为公差的等差数列，计算可得通项，再利用拆项法、并项相加即得结论．

解答 解：∵a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2，n∈N^*），a_n≠0，
∴2=$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}}{{a}_{n}•{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=3，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以3为首项、2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=3+2（n-1）=2n+1，
∴a_n=$\frac{1}{2n+1}$；
∴a_n•a_n+1=$\frac{1}{2n+1}•\frac{1}{2n+3}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a₉₉a₁₀₀=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{197}$-$\frac{1}{199}$+$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{201}$）=$\frac{11}{67}$，
故答案为：$\frac{1}{2n+1}$，$\frac{11}{67}$．

点评 本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形和并项相加法是解决本题的关键，属于中档题．