Question

9．如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，CC′⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=CC′=a，E是A′C′的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BC⊥平面ACC′A′；
（2）求证：EF∥平面BCC′B′；
（3）设二面角C′-AB-C的平面角为θ，求tanθ的值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理证明AC⊥BC，即可证明BC⊥平面ACC′A′；
（2）根据线面平行的判定定理证明EF∥BG即可证明EF∥平面BCC′B′；
（3）根据二面角的定义先求出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求tanθ的值．

解答 （1）证明：∵CC′⊥底面ABC，
∴CC′⊥BC
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又AC∩CC′=C，
∴BC⊥平面ACC′A．
（2）证明：取B′C′的中点G，连接EG、BG，
又E是A′C′的中点，
则EG∥A′B′且等于A′B′的一半．
ABCEFG
∵F是AB中点，
∴BF∥A′B′且等于A′B′的一半，
∴EG与BF平行且相等．
∴四边形EGBF是平行四边形，∴EF∥BG，
又EF?平面BCC′B′，BG?平面BCC′B′，
∴EF∥平面BCC′B′
（3）解：连接FC、FC′．
∵AC=BC，F是AB中点，
∴CF⊥AB，
又∵CC′⊥底面ABC，
∴CC′⊥AB，
∴AB⊥平面CFC′，
∴C′F⊥AB，
∴∠C′FC为二面角C′-AB-C的平面角，
即θ=∠C′FC，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a，F是AB中点，
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
又△C′FC是直角三角形，且∠C′CF=90°，CC′=a，
∴tanθ=tan∠C′FC=$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}=\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查线面平行和垂直的判定，以及二面角的求解，要求熟练掌握相应的判定定理以及，利用向量法求解二面角的大小．