Question

1．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=-1时的f（x）解析式和导数，求得单调区间，注意函数的定义域；
（Ⅱ）求出导数，对a讨论，①若a≥-1，②若a≤-e，③若-e＜a＜-1，通过单调性求得最小值，解方程可得a的值；
（Ⅲ）运用参数分离，可得a＞xlnx-x³，令g（x）=xlnx-x³，求得g（x）的值域，即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
则当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
即有f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
（Ⅱ）由题可知f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
①若a≥-1则x+a≥0，f（x）在[1，e]上为增函数，
[f（x）]_min=f（1）=-a=$\frac{3}{2}$，即为a=-$\frac{3}{2}$（舍去）；         
②若a≤-e，则x+a≤0，f（x）在[1，e]上为减函数，
[f（x）]_min=f（e）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，a=-$\frac{e}{2}$（舍去）；          
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，解得x=-a，
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，f（x）在（1，-a）上为减函数；
 当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（-a，e）上为增函数．
即有[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，解得a=-$\sqrt{e}$，
综上所述，a=-$\sqrt{e}$；                            
（Ⅲ）f（x）＜x²，即lnx-$\frac{a}{x}$＜x²，
又a＞0，a＞xlnx-x³，
令g（x）=xlnx-x³，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-6x=$\frac{1-6{x}^{2}}{x}$，
由x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上是减函数，
则h（x）＜h（1）=-2＜0，即g′（x）＜0，
g（x）在（1，+∞）上递减，即有g（x）＜g（1）=-1，
当a≥-1时，f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用参数分离和函数的单调性是解题的关键．