Question

6．已知f（x）=2ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）证明：2ln（$\frac{x}{2}+1$）-6≤（x+3）（x-2）

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由题意可得，f′（0）=0，解方程可得a=2；
（2）由题意，证明2ln（$\frac{x}{2}+1$）-6≤（x+3）（x-2）恒成立，可以构造函数g（x）=（x+3）（x-2）-2ln（1+$\frac{x}{2}$）+6，将证明不等式恒成立问题转化为函数g（x）≥0恒成立的问题，可利用导数求出函数的单调区间，确定出函数g（x）的最小值，若最小值大于等于0，则可得原不等式成立．

解答 （1）解：f（x）=2ln（x+a）-x²-x的导数为f′（x）=$\frac{2}{x+a}$-2x-1，
由于在x=0处取得极值，即有f′（0）=0，
即$\frac{2}{a}$-1=0，解得a=2；
（2）证明：由题意，设函数g（x）=（x+3）（x-2）-2ln（1+$\frac{x}{2}$）+6，
函数g（x）的定义域为（-2，+∞）
又g′（x）=2x+1-$\frac{2}{x+2}$=$\frac{2x（x+\frac{5}{2}）}{x+2}$，
令g′（x）＞0解得x＞0，
令g′（x）＜0解得-2＜x＜0．
又函数g（x）的定义域是（-2，+∞），
所以函数g（x）区间（-2，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数
即有g（x）≥g（0）=0，
即有2ln（$\frac{x}{2}+1$）-6≤（x+3）（x-2）．

点评 本题考查导数的运用：求极值和单调区间，以及最值，主要考查函数的单调性的运用，注意构造函数运用最值证明不等式的方法，属于中档题．