Question

11．已知函数f（x）的导函数是f′（x）=3x²+2mx+9，f（x）在x=3处取得极值，且f（0）=0
（1）求f（x）的极大值和极小值
（2）设M（x，y）是曲线y=f（x）上的任意一点，当x∈（0，1]时，求直线OM斜率的最小值．

Answer 1

分析 （1）依题意，f′（3）=0，解得m=-6，由已知可设f（x）=x³-6x²+9x+p，因为f（0）=0，所以p=0，由此能求出f（x）的极大值和极小值．
（2）当x∈（0，1]时，直线OM斜率k=$\frac{f（x）}{x}$=（x-3）²，因为0＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，则4≤（x-3）²＜9，即直线OM斜率的最小值为4．

解答 解：（1）依题意，f′（3）=0，解得m=-6，…（1分）
由已知可设f（x）=x³-6x²+9x+p，
因为f（0）=0，所以p=0，
则f（x）=x³-6x²+9x，导函数f′（x）=3x²-12x+9．…（3分）
列表：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值4	递减	极小值0	递增

由上表可知f（x）在x=1处取得极大值为f（1）=4，f（x）在x=3处取得极小值为f（3）=0．…（8分）
（2）当x∈（0，1]时，直线OM斜率k=$\frac{f（x）}{x}$=（x-3）²，
因为0＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，
则4≤（x-3）²＜9，
即直线OM斜率的最小值为4． …（12分）

点评 本题考查导数的应用，考查函数极值的求法，考查实数的取值范围的求法，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化是关键．