Question

16．已知函数f（x）=x，g（x）=lnx．
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的极值；
（2）若?a∈（0，+∞），使得函数y=af（x）-g（x）在（0，e]上的最小值是3（其中e为自然对数的底数），试求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数h（x）的导数，求得单调区间，即可得到极值；
（2）求出函数m（x）的导数，对a讨论，分a＞$\frac{1}{e}$，0＜a≤$\frac{1}{e}$，判断函数m（x）的单调性，求得最小值，解方程即可得到a．

解答 解：（1）函数h（x）=f（x）-g（x）=x-lnx的导数为
h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增；
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1））递减．
即有h（x）在x=1处取得极小值，且为1，
无极大值；
（2）令函数m（x）=af（x）-g（x）=ax-lnx，
m′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
当$\frac{1}{a}$＜e即a＞$\frac{1}{e}$，即有m（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，e）递增，
则m（x）在x=$\frac{1}{a}$处取得极小值，也为最小值，且为1+lna，
由题意可得1+lna=3，解得a=e²；
当$\frac{1}{a}$≥e即0＜a≤$\frac{1}{e}$时，m′（x）＜0，m（x）在（0，e]上递减，
即有x=e处m（x）取得最小值，且为ae-1，
由题意可得，ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$，
与0＜a≤$\frac{1}{e}$矛盾，舍去．
故a的值为e²．

点评 本题考查导数的运用：求极值和最值，主要考查求最值的方法和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．