Question

6．已知y=2cos²x+5sinx-4（$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}$），求其最大值和最小值、并写出取最值时x的集合．

Answer 1

分析 函数即y═-2${（sinx-\frac{5}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{8}$，再利用正弦函数的定义域和值域可得sinx∈[$\frac{1}{2}$，1]，再结合二次函数的性质求得该函数的最大值和最小值、以及取最值时x的集合．

解答 解：y=2cos²x+5sinx-4=-2sin²x+5sinx-2=-2${（sinx-\frac{5}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{8}$，
由$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}$，可得sinx∈[$\frac{1}{2}$，1]，
故当sinx=1，即x=$\frac{π}{2}$时，函数y取得最大值为1，当sinx=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{5π}{6}$时，函数y取得最小值为0．
综上可得，函数y的最大值为1，此时x∈{$\frac{π}{2}$}，函数y的最小值为0，此时x∈{$\frac{5π}{6}$}．

点评 本题主要考查二次函数的性质，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．